In der klassischen Theorie der besten Approximation von stetigen periodischen Funktionen durch trigonometrische Polynome spielen die "direkten Satze" von D. Jackson und die "Umkehrsatze" von s. Bernstein eine fundamentale Rolle. Ein Hauptanliegen der vorliegenden Abhandlung ist es, sich von den trigonometrischen Polynomen bester Approxima- tion loszuloesen und enteprechende Satze uber Folgen von beschrankten linearen Transformationen, wie z. B. Summations- prozessen von Fourierreihen, zu beweisen, die gewisse Be- dingungen erfullen. Diese Bedingungen sollen sicherstellen, dass das Phanomen der Saturation, welches bei allen gan- gen Prozessen gegeben ist, auftritt. Die Behandlung selbst erfolgt im abstrakten Rahmen der Theorie der Banachraume. Damit gelangt der Verfasser zu einem zentralen Problem, das letztlich darin besteht, den fundamentalen Satz, von Banach-Steinhaus uber Folgen von beschrankten linearen Operatoren, und zwar die Aussage uber notwendige und hin- reichende Bedingungen fur die Konvergenz dieser Folgen gegen den Identitatsoperator, so zu verscharfen, dass er eine Aussage uber die Konvergenzgeschwindigkeit liefert. Dieses grundlegende Problem ist schon seit m hreren Jah- ren in der Diskussion und wird vom Verfasser dahingehend behandelt, dass er in Banachunterraumen arbeitet, die sich als Interpolationsraume charakterisieren lassen.
