Differenssipolynomien arvojen jakautuminen

Väitös matematiikan alalta

Väittelijä MSc Yong Liu

Väitösaika ja -paikka 6.9.2013, 12.00, M100, Metria, Joensuun kampus

Arvojenjakautumisteoriassa on viime vuosien aikana kehitetty joukko uusia menetelmiä, jotka soveltuvat differenssiyhtälöiden meromorfisten ratkaisujen tutkimukseen. Eräitä keskeisiä esimerkkejä näistä menetelmistä ovat Ablowitzin, Halburdin ja Herbstin ehdottama kompleksianalyyttinen Painlevé ominaisuus differenssiyhtälöille, Halburdin ja Korhosen Nevanlinnan teorian differenssianalogia ja Ishizakin ja Yanagiharan kehittämä Wiman-Valiron teoria hitaasti kasvaville lineaaristen differenssiyhtälöiden kokonaisille ratkaisuille. MSc Yong Liun väitöskirjassa keskitytään tutkimaan differenssipolynomien arvojen jakautumista.

Väitöskirjassa käsitellään muun muassa yleistettyjen differenssien g(z)=f(z+c1)+… +f(z+ck)-kf(z) ja gk(z)= f(z+c1)… f(z+ck) –(f(z))k nollakohtien jakautumista käyttämällä Bergweilerin ja Langleyn differensseille soveltuvia menetelmiä yhdessä Wiman-Valiron teorian kanssa. Lisäksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun differenssiyhtälöiden meromorfisten ratkaisujen kasvua ja arvojen jakautumista.

Hayman on tutkinut differentiaalipolynomin fn+af'-b=P(z,f) arvojen jakautumista, kun funktio f on transkendenttinen ja meromorfinen. Hän on osoittanut, että tapauksessa n ≥ 5 differenssipolynomilla P(z,f) on aina äärettömän monta nollakohtaa. Laine ja Yang osoittivat, että myös vastaavalla differenssipolynomilla on äärettömän monta nollakohtaa, jos f on äärellistä kertalukua. Tässä väitöskirjassa laajennetaan Laineen ja Yangin tulos yleisemmälle differenssipolynomiluokalle.